在深度学习中，激活函数是网络层的核心组成部分之一，添加激活层的主要原因并不是为了“好求偏导数”，而是为了引入非线性、增加网络的表达能力等。下面详细解释为什么需要激活层，以及它与偏导数的关系。
1.网络层为什么需要激活函数
1.1引入非线性
如果没有激活函数，网络层的输出只是输入和权重的线性组合，例如：
这种线性运算即使通过多层堆叠，也仍然是线性变换。无论堆叠多少层，这种网络的表示能力都相当有限，无法解决非线性问题。
激活函数能够引入非线性，将线性变换变为非线性映射，例如：
通过激活函数 f(z)，网络可以学习复杂的非线性关系，从而具有更强的表达能力。这是解决分类问题、回归问题等复杂任务的关键。
举例：
如果没有激活函数，整个神经网络等价于一个单一的线性函数：
这本质上还是一个线性映射。
有了激活函数后，非线性层的叠加使网络能够逼近任意复杂的函数（这是“万能近似定理”的核心思想）。
1.2 增加网络表达能力
激活函数的非线性特性使得神经网络能够学习：
高维数据的复杂模式。
非线性决策边界，例如在分类任务中区分不同类别的数据分布。
没有激活函数，网络只能解决简单的线性问题；有了激活函数，网络可以建模复杂的非线性现象。
1.3 激活函数与层之间的作用分工
线性层（全连接层、卷积层等）：负责线性变换，提取特定方向的特征。
激活函数：引入非线性，增强网络的表达能力。
这种分工让网络可以通过叠加线性层和激活层，逐步从输入特征中提取更高级的特征。
2. 激活层与偏导数的关系
虽然激活函数的主要目的是引入非线性，但在设计激活函数时，可微性（易求偏导数）是一个重要的考虑因素。激活函数是否容易求导，直接影响反向传播的计算效率和稳定性。
2.1 激活函数的可导性
在反向传播中，需要计算损失函数 L对权重 w 的梯度：
其中，激活函数的导数\frac{\partial a}{\partial z} 是关键部分。
若激活函数不可导（或导数很复杂），反向传播的梯度计算将变得困难甚至不可行。
常用激活函数（如 Sigmoid、ReLU、Tanh 等）都设计为连续可导，以便梯度能够通过链式法则顺利传播。
2.2 激活函数的导数性质
不同激活函数的导数性质影响反向传播的效率和效果：
Sigmoid 函数：
f(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
其导数与输出值 $f(z)$ 有简单关系，因此易于计算。
问题：当 z 非常大或非常小时，导数接近 0，容易导致梯度消失。
ReLU 函数：
f(z) = \max(0, z)
计算简单，但当 z≤0 时，导数为 0，可能导致“死亡 ReLU”问题。
Tanh 函数：
导数公式简单，但可能也会出现梯度消失问题。
这些激活函数的设计兼顾了引入非线性和便于求导的需求。
3. 激活层的其他功能
除了引入非线性和便于计算梯度，激活层还有以下作用：
3.1 压缩输出范围
激活函数常将输入压缩到特定范围内，例如：
Sigmoid：将输出压缩到 (0,1)，适合概率表示。
Tanh：将输出压缩到 (−1,1)，对对称性要求较高的任务有优势。
这种压缩特性有助于稳定训练，避免数值溢出。
3.2 稀疏化输出
某些激活函数（如ReLU）具有稀疏化效果，即使得一部分神经元的输出为 0。这种稀疏性能够提高模型的计算效率，并增强模型的泛化能力。
3.3 梯度流动
不同激活函数对梯度流动的影响不同：
激活函数的导数大小会影响梯度更新的速度。
如果激活函数的导数接近 0（如 Sigmoid 在饱和区间），会导致梯度消失。
如果激活函数的导数非常大，可能导致梯度爆炸。
激活函数需要在表达能力和梯度稳定性之间取得平衡。
4. 总结
激活层在网络中的作用不仅仅是为了“好求偏导数”，而是为了：
引入非线性，提高网络的表达能力，使其能够建模复杂的非线性关系。
分工明确，结合线性层的特性，逐步提取特征。
支持反向传播，在设计时考虑到导数的可计算性和效率。
其他功能，如输出范围压缩、稀疏化等。
因此，激活层的存在是深度学习网络中不可或缺的一部分。它不仅实现了非线性变换，还确保网络能够通过梯度下降优化参数，逐步减小误差。